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平方根を含む平方の差の値の計算問題

2つの値が和と差の組なら，先に平方の差を因数分解すると計算が短くなります。

この単元のポイント

公式と考え方

和と差の形で与えられたx，yから平方の差を求めます。直接2乗する前に因数分解すると，x+yとx−yで根号が打ち消され，積を短く計算できます。

  • 求める式を x2−y2=(x+y)(x−y)x^2-y^2=(x+y)(x-y) に直してから，与えられた値を使います。
  • xとyで符号が違う根号はx+yで消え，符号が同じ根号はx−yで消えます。
  • それぞれに残る項は2倍です。最後に2つの係数と根号どうしを掛けます。
例題と解き方

x=5+7x=\sqrt5+\sqrt7，y=5−7y=\sqrt5-\sqrt7 のとき，x2−y2x^2-y^2 を求めなさい。

  1. 和は x+y=25x+y=2\sqrt5，差は x−y=27x-y=2\sqrt7 です。
  2. x2−y2=(x+y)(x−y)=25×27=435x^2-y^2=(x+y)(x-y)=2\sqrt5\times2\sqrt7=4\sqrt{35} と求められます。
よくある間違い
  • x−yでyの−√7を引くため，√7+√7となる部分を0にしないようにします。
  • 2√5×2√7の係数を2のままにせず，2×2=4とします。

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