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円柱と半球の組合せ：表面積の計算問題

円柱と半球の組合せ：表面積

この単元のポイント

公式と考え方

円柱に半球をつなげた表面は，円柱の側面・下底・半球の曲面です。接合して隠れた円は表面に数えません。

  • 円柱の側面積は 2πrh2\pi rh です。
  • 半球の曲面は球の表面積の半分 2πr22\pi r^2 です。
  • 露出している円は下底1枚なので，さらに πr2\pi r^2 を足します。
例題と解き方

半径2cm，高さ2cmの円柱の上に，同じ半径の半球をつなげた立体です。接合面は表面に含めず，円柱の下の底面は含めます。表面積を求めなさい。円周率はπを使い，答えに単位を付けないでください。

半径2cm，高さ2cmの円柱の上に，同じ半径の半球をつなげた立体です。接合面は表面に含めず，円柱の下の底面は含めます。表面積を求めなさい。円周率はπを使い，答えに単位を付けないでください。2cm円柱高 2cm
図は模式図です。寸法は問題文の値を使ってください。
  1. 外から触れる側面，半球の曲面，下底1枚を合計します。
  2. 2×π×2×2+2×π×22+π×22=20π2\times \pi \times 2\times 2+2\times \pi \times 2^2+\pi \times 2^2=20\pi
  3. したがって，求める値は 20π20\pi です。
よくある間違い
  • 円柱の上底と半球の底面は内部に隠れているので，どちらも加えません。
  • 半球の曲面積を求めるときに，平らな円まで一緒に足さないようにします。

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