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外側の軸で直角三角形を回転：体積の計算問題

外側の軸で直角三角形を回転：体積

この単元のポイント

公式と考え方

三角形の外側の平行な軸で回すと，円柱から円錐をくり抜いた立体になります。軸から離れた辺までの距離が共通の半径です。

  • 辺ACが軸から辺BCまでの距離なので，半径になります。
  • 辺BCは円柱と，くり抜く円錐の共通の高さです。
  • 体積は円柱−円錐，つまり同じ円柱の2/3です。
例題と解き方

直角三角形ABCは，角Cが90°，辺AC=2cm，辺BC=2cmです。点Aを通り，辺BCに平行な直線を軸として1回転させます。体積を求めなさい。円周率はπを使い，答えに単位を付けないでください。

直角三角形[[ABC]]は，角[[C]]が90°，辺[[AC]]=2cm，辺[[BC]]=2cmです。点[[A]]を通り，辺[[BC]]に平行な直線を軸として1回転させます。体積を求めなさい。円周率はπを使い，答えに単位を付けないでください。ABC2cm2cm
図は模式図です。寸法は問題文の値を使ってください。
  1. ACを半径，BCを高さとする円柱から，同じ半径・高さの円錐を引きます。
  2. π×22×2−π×22×2÷3=16π3\pi \times 2^2\times 2-\pi \times 2^2\times 2\div 3=\frac{16\pi}{3}
  3. したがって，求める値は 16π3\frac{16\pi}{3} です。
よくある間違い
  • 普通の円錐ができると考えると，残る体積を半分に見積もってしまいます。
  • 図形の外側の軸を，三角形の辺BCそのものと取り違えないようにします。

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