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2つの円錐をつないだ回転体:体積の計算問題

2つの円錐をつないだ回転体:体積

この単元のポイント

公式と考え方

頂点から軸への垂線の足が軸の辺の内側にあると,回転後は円錐2個を底面でつないだ形です。共通半径で2つの体積を加えます。

  • 軸への垂線の長さが,2個の円錐の共通半径です。
  • 垂線の足で分かれた軸の2部分が,それぞれの円錐の高さです。
  • 体積は πr2(h1+h2)/3\pi r^2(h_1+h_2)/3 にまとめられます。
例題と解き方

三角形の1辺を軸とします。反対の頂点から軸への垂線の足は辺の内部にあり,垂線の長さは2cmです。軸となる辺は垂線の足によって2cmと2cmに分かれます。1回転させてできる立体を考えます。体積を求めなさい。円周率はπを使い,答えに単位を付けないでください。

三角形の1辺を軸とします。反対の頂点から軸への垂線の足は辺の内部にあり,垂線の長さは2cmです。軸となる辺は垂線の足によって2cmと2cmに分かれます。1回転させてできる立体を考えます。体積を求めなさい。円周率はπを使い,答えに単位を付けないでください。2cm2cm2cm
図は模式図です。寸法は問題文の値を使ってください。
  1. 共通半径で,高さが2つの指定値の円錐を足します。
  2. π×22×2÷3+π×22×2÷3=16π3\pi \times 2^2\times 2\div 3+\pi \times 2^2\times 2\div 3=\frac{16\pi}{3}
  3. したがって,求める値は 16π3\frac{16\pi}{3} です。
よくある間違い
  • 軸全体の長さを半径とするのではなく,垂線の長さを半径にします。
  • 2つの円錐は重ならず接しているので,体積を引かずに足します。

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