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直角台形の回転体:体積の計算問題

直角台形の回転体:体積

この単元のポイント

公式と考え方

直角台形を長い平行辺のまわりに回すと,円柱と円錐の組合せになります。半径は平行辺の間隔です。

  • 円柱の高さは短い平行辺の長さです。
  • 円錐の高さは長い平行辺と短い平行辺の差です。
  • 共通の半径で円柱と円錐を別々に計算して足します。
例題と解き方

平行な2辺の長さが2cmと4cmで,その間の垂直な距離が2cmの直角台形です。長さ4cmの辺を軸として1回転させます。体積を求めなさい。円周率はπを使い,答えに単位を付けないでください。

平行な2辺の長さが2cmと4cmで,その間の垂直な距離が2cmの直角台形です。長さ4cmの辺を軸として1回転させます。体積を求めなさい。円周率はπを使い,答えに単位を付けないでください。2cm4cm2cm
図は模式図です。寸法は問題文の値を使ってください。
  1. 半径は平行辺の間隔,円柱高は短辺,円錐高は2辺の差です。
  2. π×22×2+π×22×(4−2)÷3=32π3\pi \times 2^2\times 2+\pi \times 2^2\times (4-2)\div 3=\frac{32\pi}{3}
  3. したがって,求める値は 32π3\frac{32\pi}{3} です。
よくある間違い
  • 長い平行辺全体を円柱の高さにすると,円錐部分を円柱として数えてしまいます。
  • 台形の垂直な間隔は,回転後には高さではなく半径になります。

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